Fragments
no šīs grāmatas:
§35. Ģeometrija bez aksiomām
.539. Par ģeometrijas būtību es esmu runājis
jau ļoti daudz dažādās savās grāmatās, bet īsumā atkārtosim to šeit vēlreiz.
Jūs rakstījāt, ka «Eiklīda piektais postulāts sašķēla visu ģeometriju uz
trim variantiem».
.540. Jā, pagājušajā (vai nu jau
aizpagājušajā) gadsimtā visas šīs lietas vēsturiski tiešām parādījās kā tādas,
kas grozās ap Eiklīda piekto postulātu. Vienu aksiomu nomaina ar otru
(modernajās ģeometrijas sistēmās tās jau sauc par aksiomām, ne postulātiem) –
un dabū savādākas ģeometrijas kā pierādāmu teorēmu kopas.
.541. Taču dziļāks skatījums prasa tikt
skaidrībā: kas īsti ir ģeometrija? Vai tiešām tikai no aksiomām izvedamu
teorēmu kopa?
.542. Protams, ka nē. Jebkura teorēma ir tikai
apgalvojums, izteikums, tātad «stāsts» par «kaut ko». Bet kas ir pats šis «kaut
kas», par ko tiek stāstīts? Kas ir ģeometrijas apgalvojumu objekts?
.543. Agrāk (piemēram, skolas ģeometrijas
kursos) runāja, ka «ģeometrija pēta priekšmetu telpiskās attiecības» utt. Bet
«fiziskā telpa» taču var būt tikai viena: vai nu Eiklīda, vai Lobačevska, vai
Rīmana (ar vārdiem «Rīmana telpa» šeit un zemāk es saprotu ne gluži to, kas ar
to tiek saprasts matemātiskajā literatūrā: šeit «Rīmana telpa» ir tāda telpa –
zemāk {.610} dotās shēmas nozīmē –, kurā izpildās Rīmana ģeometrija). Bet kas
tad ir pārējās divas: vienkārši «stāsts par neko»? Tradicionālā matemātika tā
arī uzskata, jo citu priekšmetu viņi nesaskata (nespēj ieraudzīt) – un tad jau
tiešām cits nekas arī neatliek, kā vien domāt un runāt tā, kā viņi runā un
domā: ka ģeometrijas pamati ir aksiomas.
.544. Paraudzīsimies uz lietu vispirms
vēsturiskā plāksnē.
.545. Vēsturiski ģeometrijas postulāti un
aksiomas parādījās «arēnā» zināmā mērā kurioza dēļ. Eiklīds nebūt netaisījās
«dibināt» aksiomātisko vai deduktīvo metodi (kā to tagad bieži raksta daudzi
autori). Eiklīds (un viņa priekšgājēji) dzīvoja apstākļos, kad grieķu pilsētās
ļoti plaši izplatījās tāda parādība kā «sofisti». Šie «gudrinieki» par naudu
ņēmās aizstāvēt (vai apgāzt) jebkuru tēzi. Ikviens bagātnieks varēja «joka pēc»
iedot sofistam kādu leptu, lai tas ņemas apstrīdēt visu, ko ģeometrs stāstīs
par savām figūrām.
.546. Tas, ko tagad sauc par Aksiomātisko
metodi, radās cīņā ar sofistiem. Eiklīds (un droši vien jau arī viņa
priekšgājēji) izdalīja virkni pamatatzinumu, no kuriem tad tālāk varēja izvest
pierādījumu tik korekti, ka sofistam pilnīgi nebija kur «piesieties».
.547. Pašus pamatatzinumus, savukārt, Eiklīds
sadalīja divās grupās. Vienā grupā ietilpa tādi, kurus tā laika grieķu
sabiedrība bija atzinusi par pilnīgi neapstrīdamiem (piemēram: «veselais ir
lielāks par daļu») un tāpēc, ja sofists mēģinātu tiem uzbrukt, tad par to pūlis
viņu vienkārši izsmietu. (Tagadējos Eiklīda izdevumos šī pamatatzinumu grupa
saucas par aksiomām).
.548. Otrā daļa (kas tagad saucas par
postulātiem; pašam Eiklīdam nebija ne viena, ne otra vārda), – otrā
pamatatzinumu daļa, tieši pretēji, nebija (!) acīmredzami, bet ģeometrs
tos jau iepriekš «atrunāja» un vienojās ar klausītājiem: «pieņemsim, ka tas tā
ir» – un tad, pēc šādas vienošanās, arī tiem sofists vairs nevarēja uzbrukt.
.549. Tipisks postulāts ir, piemēram, trešais:
«Ir vajadzīgs, lai ap jebkuru centru ar jebkuru auklas garumu varētu novilkt
riņķa līniju». Skaidrs, ka īstenībā tas nav iespējams, nu bet viņi
vienojās pieņemt, ka to tā «principā» var izdarīt (cirkuļu tad vēl nebija,
riņķus vilka smiltīs ar auklā iesietu mietiņu).
.550. Apstāsimies šeit, un ļoti ļoti uzmanīgi
ieskatīsimies: KAS ir ģeometrijas priekšmets Eiklīdam? Vai tās aksiomas un
postulāti? Nē taču – Eiklīds droši vien sāktu pilnā balsī smieties, ja pie viņa
atnāktu kāds mūsdienu ģeometrs un mēģinātu viņam to iestāstīt. Aksiomas un
postulātus Eiklīds izdomāja tikai tādēļ, ka viņam vajadzēja cīnīties ar
sofistiem: tas vienkārši bija loģiski nevainojama izklāsta veids, forma,
bet ne jau ģeometrijas priekšmets!
.551. KAS tādā gadījumā bija ģeometrijas
priekšmets? Vai tie riņķi un taisnes, kurus Eiklīds ar mietiņu vilka smiltīs?
Atkal nē: ja TIE būtu ģeometrijas priekšmets, tad nebūtu vajadzības ievest jau
pieminēto trešo postulātu («ap jebkuru centru ar jebkuru auklas garumu...»),
tāpat kā otro postulātu («un ka jebkuru taisni var turpināt...»), tāpat kā
pirmo postulātu («ka jebkurus divus punktus var savienot ar...»).
.552. Eiklīda ģeometrijas priekšmets bija
nevis tie riņķi un taisnes, kurus viņš faktiski zīmēja smiltīs, bet tie, kurus
viņš varētu (!) uzzīmēt. Nevis reālie viņa (un vispār cilvēku) darbības
produkti bija šis priekšmets (tie bija tikai piemēri), bet gan potenciālie
darbības produkti.
.553. (Kā mēs atceramies, Platons no šejienes
nonāca pie domas, ka reālie riņķi un taisnes ir tikai «īsto», «ideju pasaulē»
pastāvošo riņķu un taišņu nepilnīgi attēli vai iemiesojumi, vai «ēnas»).
.554. Lūk, par šiem potenciālajiem riņķiem un
taisnēm tad arī tika spriests un stāstīts: ja mēs novilksim tādus un tādus
riņķus un tādas un tādas taisnes, tad starp šiem (mūsu darbības potenciālajiem
produktiem) pastāvēs tādas un tādas sakarības...
.555. Šie apgalvojumi tad arī bija ģeometrijas
teorēmas; teorēmas bija stāsti – un tagad mēs redzam, par KO bija šie stāsti:
par zināmas cilvēku darbības (riņķu un taišņu vilkšanas utt.) potenciālajiem,
iespējamajiem rezultātiem (kur kāds konkrēts riņķis vai taisne bija ne vairāk
kā «abstraktā», potenciālā riņķa «speciālgadījums», piemērs, viena no vispārīgi
iespējamajām realizācijām).
.556. Pati Eiklīda telpa tad iznāk tā arēna,
kurā cilvēku potenciālā darbība var norisināties (pie tā mēs vēl atgriezīsimies
{.616}).
.557. Un tā, «deduktīvi loģiskās metodes
aizsākumu» laikos Senajā Grieķijā, par kuriem Jūs rakstījāt, ģeometrijas
priekšmets bija cilvēku potenciālie darbības produkti (praktiski tāpat kā Vēras
teorijā); teorēmas bija tikai stāsti par šo priekšmetu (bet ne pati
ģeometrija), un aksiomātiskā metode bija tikai loģisks stāsta izkārtojums tā,
lai sofisti nevarētu to traucēt.
.558. Tikai daudz vēlāk matemātika «pazaudēja»
savu sākotnējo priekšmetu, bet aksiomātiskā metode ar savu skaistumu tā
apžilbināja pēctečus (sevišķi Dekarta laika racionālistus), ka to sāka uzskatīt
par ģeometrijas (un vēlāk arī visas matemātikas) būtību.
.559. Vēras modelī Eiklīda ģeometrijas
priekšmets (tāpat kā viņa paša dzīves laikā) atkal ir cilvēku potenciālie
darbības produkti (tikai tagad interpretēti smadzeņu kompjūtera jēdzienos).
.560. Lai interpretētu ģeometriju «smadzeņu
kompjūtera terminos», mums vajag «vienkārši» stādīties sev priekšā, t.i.
iedomāties, KAS, kādas programmas būs vajadzīgas, piemēram, lellei Dollijai,
lai arī viņa spētu (tāpat kā Eiklīds) vilkt riņķus un taisnes (smiltīs vai uz
papīra) un (galvenais!), lai viņa spētu domāt par tiem riņķiem un
taisnēm, kuras viņa nemaz nezīmē, bet varētu uzzīmēt, – par savu darbību
potenciālajiem produktiem.
.561. Līdzko mēs šīs programmas būsim
stādījušies sev priekšā, tā mums būs arī skaidras visas (Eiklīda ģeometrijas)
«aizkulises».
.562. Detalizēti iztirzāt visas tās
programmas, kuras būs vajadzīgas lellei Dollijai, lai viņa spētu darboties kā
Eiklīds, šeit būtu pārāk gari (jo šī programmu sistēma ir patiešām sarežģīta).
Tāpēc teikšu tikai ļoti īsi, ka principā un pirmajā tuvinājumā šīs programmas
var iedalīt trīs grupās:
.563. 1)
Ir vajadzīgs aparāts, kurš vispār ļautu Dollijai (domās) lokalizēt objektus
«telpā»; lai nezaudētu laiku, neiedziļināsimies visos šeit iespējamajos
tehniskajos risinājumos, bet ņemsim to pašu risinājumu, ko Daba ir iebūvējusi
cilvēkā. Tad Dollija uzskata sevi par Pasaules Centru un visus pārējos objektus
lokalizē attiecībā pret sevi pēc trim skalām: pa labi vai pa kreisi; uz priekšu
vai atpakaļ; augstāk vai zemāk. Tātad programmu sistēma, kura šo lokalizāciju
izpildīs, piedēvēs katram objektam noteiktas šo trīs parametru vērtības,
piemēram, «objekts atrodas pa labi 30 vienības tālu, 4 vienības man aizmugurē
un 2 vienības augstāk»; protams, cilvēka telpas uztveršanas sistēma neoperē ar
skaitļiem; tā darbojas kā analogais kompjūters (ir pasaulē tādi kompjūteri),
bet princips no tā nemainās. (Iegaumēsim šajā vietā ļoti pamatīgi šo apstākli:
objektu lokalizācijas aparātam Dollijas (un arī cilvēka) galvā ir tieši trīs
dimensijas (trīs «skalas», trīs «lineāli»), un pa katru no dimensijām objekts
var tikt (domās) lokalizēts neierobežoti tālu – vismaz principā).
.564. 2)
Ir vajadzīgas programmas, kuru vadībā Dollijas rokas (un vispār ķermenis)
kustēsies tā, lai patiešām reāli novilktu taisnes un riņķa līnijas (smiltīs, uz
papīra, vai kur citur).
.565. 3)
Ir vajadzīgas programmas, kuras vilks riņķa līnijas, taisnes utt. «tikai domās»
(lokalizējot tomēr savus rezultātus pirmā aparāta radītajā telpā); šī pēdējā,
trešā programmu grupa nespeciālistam droši vien liksies visneskaidrākā;
atgādināšu, ka principiāli šāda tipa programmas nav radītas (cilvēka galvā)
speciāli ģeometrijai; tās ir vispār absolūti nepieciešama pašprogrammēšanās
sastāvdaļa, kā es to esmu minējis jau daudzās vietās; viens no
pašprogrammēšanās obligātajiem elementiem ir tāda veida programmas, kuras ņem
kādu citu («reāli strādāt varošu» programmu; mūsu gadījumā, piemēram, riņķa
vilkšanas programmu no otrās grupas) un «tikai domās» (t.i. – kompjūtera
operatīvajā atmiņā) konstruē tās izpildīšanas rezultāta tēlu (kā struktūru
operatīvajā atmiņā); šāda darbība ir nepieciešama, lai varētu jau iepriekš
novērtēt to «otrās grupas programmu» un izlemt, vai izpildīt to reāli, vai nē;
ģeometrijas gadījumā šis (sen agrāk cilvēka smadzenēs iebūvētais) aparāts tikai
vienkārši tiek izmantots «ideālu» riņķu un taišņu konstruēšanai «domās».
.566. Tās ir tās programmas, kas sastāda
ģeometrijas pašus pamatus. Tālāk, lai Dollijai varētu rasties jēdzieni par
aksiomām, par teorēmām, par pierādījumiem utt., būs vajadzīgas vēl citas
programmu grupas, bet tās pagaidām atstāsim malā, lai galīgi nesajauktu galvu
lasītājiem.
.567. Tagad, kad mēs esam stādījušies sev
priekšā šīs trīs (smadzeņu) programmu grupas un saprotam, ka tieši viņu
produkti arī ir (Eiklīda) ģeometrijas priekšmets, mums uzreiz rodas trīs
fundamentāli jautājumi:
.568. 1)
kā tas viss attiecas pret «fizisko telpu», pret to reālo telpu, kurā taču mēs
visi it kā dzīvojam?
.569. 2)
kā tas viss attiecas pret aksiomām, nu, kaut vai pret to pašu leģendāro Piekto
postulātu?
.570. 3)
kā tas viss attiecas pret Lobačevska un Rīmana ģeometrijām, – kas tās tādas?
.571. Pirmajam jautājumam mēs zemāk {.608}
veltīsim veselu atsevišķu paragrāfu, tāpēc šeit paiesim tam garām un
pievērsīsimies uzreiz aksiomām un neeiklīda ģeometrijām.
.572. Ja ģeometrijas priekšmets ir augstāk
minēto programmu produkti (galvenokārt potenciālie; reālie tikai kā piemēri vai
arī teorijas praktiskajos pielietojumos), ja teorēmas ir stāsti par šiem
produktiem, – tad kas ir aksiomas?
.573. Vēsturiski, kā mēs redzējām, aksiomas un
postulāti bija sistematizēta, perfekta izklāsta sastāvdaļa: tādu apgalvojumu
kodekss, kurus izmantoja pierādījumos un kurus vai nu grieķi bija atzinuši par
neapstrīdamiem, vai arī par kuriem ģeometrs ar klausītājiem jau iepriekš
vienojās uzskatīt, ka tas tā ir.
.574. Tagadējā matemātiķu paradigma apgalvo,
ka teorēmas izriet no aksiomām – un daudzi cilvēki (varbūt arī Jūs?) ir
gatavi tam bez pārbaudes noticēt un to atkal atkārtot. Bet īstenībā tas nav
taisnība – teorēmas neizriet no aksiomām.
.575. Vai Jūs esat pats personīgi skatījis
cauri kādu aksiomātisku ģeometrijas sistēmu – teiksim, Hilberta[1]
–, lai pārbaudītu, kādā tieši veidā no aksiomām izriet teorēmas? Es esmu to
darījis. Tiesa, es galvenokārt nodarbojos ne ar Hilberta aksiomām – Hilberta
grāmatas[2]
man mājās nav un nopirkt to es nevarēju, tikai bibliotēkā paņēmu, bet tad tā
bija drīz jāatdod atpakaļ un arī nedrīkstēja grāmatu «ķēpāt» ar savām piezīmēm.
Tāpēc es galvenokārt izmantoju Pogorelova grāmatu[3]
un viņa aksiomu sistēmu.
.576. Pogorelovs bija Padomju Savienībā
«ģeometrs numur 1», daudzu ģeometrijas mācībgrāmatu autors – sākot no skolas
mācībgrāmatām[4] un
beidzot ar lekciju kursiem[5]
universitāšu matemātikas fakultātēm «modernajā ģeometrijā» (ieskaitot neeiklīda
ģeometrijas). Pogorelova aksiomātika nedaudz atšķiras no Hilberta, taču
nebūtiski.
.577. Un tā: es gāju cauri Pogorelova
«Ģeometrijas pamatu» mācībgrāmatai (Погорелов А.В. «Основания геометрии». Издание третье. Допущено Министерством высшего и
среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для
студентов математических специальностей университетов и педагогических
институтов. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической
литературы, Москва, 1968) – gāju cauri ar specifisku
mērķi: noskaidrot, kādas programmas man vajadzēs iebūvēt lellē Dollijā, lai
viņa no Pogorelova dotajām aksiomām spētu izsecināt visas viņa teorēmas.
.578. Un es Jums varu pateikt viennozīmīgi: neeksistē
tāda programma (nav iespējams tādu uzrakstīt), kura spētu tikai no
informācijas, kas dota aksiomās (neizmantojot nekādu citu informāciju!),
izsecināt ģeometrijas teorēmas. To tikai Podnieks un viņam līdzīgi vīri (kuri
nekad nav mēģinājuši uzrakstīt vai vismaz izprojektēt tādu programmu) tā savā
prātā iedomājas, ka to it kā varot izdarīt (un tātad teorēmas izrietot no
aksiomām).
.579. Īstenībā, lai varētu dabūt teorēmas, ir
vajadzīgs vēl milzīgs informācijas slānis (kuru viņi sauc par «ģeometrisko
intuīciju», bet kura īstenībā ir zināšanas par tām programmām, kuras es minēju
augstāk un kuras sastāda īsto ģeometrijas priekšmetu).
.580. Patiesās aksiomu un teorēmu attiecības
ir tādas, ka teorēmas nav pretrunā ar aksiomām. Tātad aksiomas ir tādu
apgalvojumu (jeb izteikumu) koncentrēts kodekss, ar kuru nav pretrunā neviena
no dotās teorijas teorēmām (bet iegūt pašas teorēmas no aksiomām vien,
neizmantojot citas zināšanas, nav iespējams).
.581. Teorēmas (tātad pašu ģeometriskās
teorijas saturu) var dabūt tikai no zināšanām par tām (smadzeņu) programmām,
kuras sastāda ģeometrijas patieso priekšmetu, bet aksiomas tātad ir tikai
(vēlāka!) piebūve pie teorijas, tāds zināms pamatprincipu (vai pamatsakarību)
rezumējums (un principā teoriju var uzbūvēt arī bez kādām aksiomām; tās nebūt
nav obligātas).
.582. Ja nu tomēr šāds aksiomu kodekss ir
parādījies arēnā, tad mēs konstatējam, ka mums pastāv divi objekti: no vienas
puses tās smadzeņu programmas, ar kurām mēs iesākām {.562}, un no otras puses
aksiomas, t.i. tādu apgalvojumu kodekss, kurš nav pretrunā ar apgalvojumiem par
šo programmu potenciālajiem produktiem (vienkāršības labad teiksim šajā
gadījumā, ka programmu sistēma un aksiomu sistēma viena otrai atbilst).
Tad mēs varam tālāk domāt divos virzienos:
.583. 1)
vai šī programmu sistēma ir vienīgā, kurai atbilst dotās aksiomas, vai arī var
būt vēl citas programmu sistēmas, kuras tāpat atbilst šīm pašām aksiomām?
.584. 2)
vai ir iespējams mazliet pagrozīt aksiomu sistēmu un tad piemeklēt tādu
programmu sistēmu, kura atbilstu šīm, nu jau grozītajām aksiomām?
.585. Uz abiem jautājumiem mums nākas atbildēt
ar «jā».
.586. No pirmā fakta tad izriet matemātiskās
paradigmas apgalvojumi, ka «parastā» Eiklīda ģeometrija ir tikai viena no
iespējamajām aksiomu «realizācijām» jeb «interpretācijām». Piemēram, Hermanis
Veils[6],
viens no tuvākajiem Dāvida Hilberta skolniekiem, sakarā ar sava skolotāja nāvi
rakstīja tā:
.587. «Grieķi iedomājās ģeometriju kā deduktīvu zinātni, kas nodarbojas ar tīri loģiskiem secinājumiem no neliela skaita iepriekš nodibinātu aksiomu. Pie šīs programmas turējās gan Eiklīds, gan Hilberts. Taču Eiklīda aksiomu saraksts ne tuvu nebija pilnīgs, turpretim Hilbertam tas ir pilnīgs, un viņa spriedumi nesatur loģiskus izlaidumus. Eiklīds mēģināja dot galveno telpisko objektu un attiecību aprakstošus definējumus, kuri piedalās viņa aksiomās; Hilberts, turpretim, atteicās no tādas pieejas. Visu, kas mums jāzin par šiem pamatjēdzieniem, satur aksiomas. Aksiomas, kādas tās ir, pēc būtības ir viņu netiešas (un piespiesti nepilnas) definīcijas. Eiklīds uzskatīja aksiomas par acīmredzamām, viņu interesēja fiziskās pasaules reālā telpa. Taču ģeometrijas deduktīvajā sistēmā aksiomu acīmredzamība un pat viņu patiesums nav būtiski; tās ir tikai pieņēmumi, no kuriem tiek izvesti loģiski secinājumi..588. Patiešām, pamatjēdzieniem eksistē daudz dažādu materiālu interpretāciju, kurām aksiomas izrādās pareizas. Piemēram, n-dimensiju Eiklīda vektoru ģeometrijas aksiomas ir spēkā, ja par vektoru ņem līdzstrāvas sadalījumu elektriskajā ķēdē, sastāvošā no n vadītājiem, kas savienoti zināmos dalīšanās punktos, un par vektora garuma kvadrātu pieņem Džoula siltumu, ko strāva izdala laika vienībā»[7].
.589. Veils acīmredzot nav speciāli pētījis
Eiklīda darbu un uzskatus, bet tikai «no galvas» atkārto parasto paradigmu un
tāpēc Eiklīda (un vispār grieķu) viedokli izklāsta neprecīzi. Hilberta aksiomas
nav arī pilnīgas tajā ziņā, ka tikai no tām, bez citām zināšanām, būtu
iespējams izvest teorēmas. Taču citēju es šeit Veilu ne tādēļ, lai uzrādītu šīs
neprecizitātes, bet gan lai ilustrētu, kā viņa lietotā (un lielā mērā arī viņa
radītā) paradigma raugās uz aksiomām un to «interpretācijām».
.590. Tātad no Veila (un tradīcijas) viedokļa
pastāv viena aksiomu sistēma («Eiklīda ģeometrijas aksiomas») un pastāv
(vismaz) divas to «realizācijas»: ģeometrijā un līdzstrāvas sadalījumā
elektriskajā ķēdē.
.591. No Vēras viedokļa šeit pastāv divas
(smadzeņu) programmu grupas: viena, ar kuru operē ģeometrs, būvēdams savus
potenciālos produktus («abstraktos riņķus un taisnes») un otra, ar kuru operē
fiziķis, būvēdams savu modeli līdzstrāvas sadalījumam elektriskajā ķēdē, – un
pastāv viena tādu aksiomu sistēma, kuras nav pretrunā ne ar vienu no šīm
programmu sistēmām (vai, precīzāk, nav pretrunā ar stāstiem par šīm sistēmām,
ar to aprakstiem).
.592. Cilvēki, kas nav pieraduši domāt Vēras
teorijas (un lelles Dollijas) kategorijās, var nesaprast: kas tā par programmu
sistēmu fiziķim pie elektriskajām ķēdēm? Patiesībā situācija ar ģeometru un
fiziķi ir ļoti līdzīga viena otrai.
.593. Ģeometrs var domāt par riņķiem un
taisnēm, faktiski nekādus riņķus un taisnes nezīmējot. Tad viņš konstruē savus
objektus tikai «galvā», t.i. kompjūtera operatīvajā atmiņā: viņš var nospriest,
ka, lūk, tur un tur līnijas krustosies, un izdarīt citus tamlīdzīgus
secinājumus. Skaidrs, ka, lai tādas darbības varētu izpildīt lelle Dollija, ir
vajadzīgas attiecīgās programmas viņas kompjūterā. Pēc tam ģeometrs ņem un
patiešām uzzīmē to, ko izdomājis. Ja viņš ir izdomājis pareizi (t.i., ja viņam
ir bijušas pareizas attiecīgās programmas), tad reāli uzzīmētie objekti (riņķi,
taisnes utt.) «izturēsies» tā, kā tas bija izdomāts. Ja īstenībā izrādīsies, ka
līnijas nekrustojas tur, kur bija paredzēts, tad tas nozīmēs, ka ģeometra
programmas ir bijušas kļūdainas, t.i. – ka nepastāv atbilstība starp šīm
programmām (to «ideālajiem» produktiem) un vēlāk reāli novilktajām līnijām kā
materiāliem objektiem (tušas pēdām uz papīra, rievām smiltīs utt.).
.594. Analoģiskā veidā fiziķis var domāt par
elektriskajām ķēdēm, kad īstenībā viņa rīcībā nekādu ķēžu nav; viņš var
izdomāt, ka tur un tur būs tāds un tāds spriegums, tur un tur izdalīsies tāds
un tāds siltums utt. Lai lelle Dollija varētu izpildīt šādu darbu, dabīgi,
viņai būs vajadzīgas zināmas programmas (tās pašas, par kurām runājām augstāk {.592}).
Kad tas viss ir izdomāts, fiziķis var patiešām saslēgt elektrisko ķēdi. Ja viņa
programmas ir bijušas pareizas, tad ķēde «uzvedīsies» patiešām tā, kā viņš
paredzējis, bet pretējā gadījumā nav pastāvējusi atbilstība starp šo programmu
produkciju un realitāti.
.595. Tātad mums ir divas programmu sistēmas,
un faktiskais stāvoklis ir tāds, ka (no Eiklīda ģeometrijas dabūtās) aksiomas
atbilst gan tām smadzeņu programmām, ar kurām Eiklīds domāja par riņķiem un
taisnēm, ko viņš potenciāli varētu uzvilkt, gan tām smadzeņu programmām, ar
kurām fiziķis domā par «līdzstrāvas sadalījumu elektriskajā ķēdē» (un būvē šī
sadalījuma modeli).
.596. No pozitīvas atbildes uz otro no augstāk
uzdotajiem jautājumiem («vai var grozīt aksiomas un tad piemeklēt tām tagad
atbilstošas programmas?» {.584}) izriet neeiklīda ģeometriju «eksistence».
.597. Tas atklājums, kuru 19. gadsimtā
izdarīja Gauss, Lobačevskis, Boljai un Rīmans, patiesībā ir atklājums, ka var
pastāvēt arī tādas smadzeņu programmu sistēmas, kuras atbilst Piektajā
postulātā grozītai aksiomu sistēmai (t.i. – «stāsti» par šādu programmu
potenciālajiem produktiem nebūs pretrunā ar šīm aksiomām).
.598. Tāpat kā klasisko Eiklīda–Hilberta
aksiomu gadījumā, arī Lobačevska vai Rīmana aksiomām var (vismaz principā)
atbilst ne tikai viena (smadzeņu) programmu sistēma, bet vairākas. Katru šādu
programmu sistēmu matemātiskā tradīcija sauc par «realizāciju» jeb
«interpretāciju».
.599. Piemēram, Lobačevska ģeometrijas
populārākās «interpretācijas» ir Kleina un Puankarē dotās. Pēdējā no tām par
«Lobačevska plakni» pieņem riņķa iekšieni; par taisnēm – tādu riņķa līniju
lokus, kuras perpendikulāras riņķi ieskaujošajai riņķa līnijai, un to
diametrus; par kongruences kustībām pieņem inversiju ap...
.600. Nu, ar vārdu sakot, to visu katrs var
izlasīt attiecīgajās grāmatās. Mums te svarīgi ir tikai tas, ka katrā no šīm
«interpretācijām» parādās specifiski objekti («tādi loki, kuri...»), ar šiem
objektiem tiek izpildītas specifiskas darbības («inversija ap...» utt.).
.601. Protams, lai lelle Dollija spētu
konstruēt tādus objektus un attiecīgi operēt ar tiem, tai ir vajadzīga
attiecīga programmu sistēma (tāpat kā tā bija vajadzīga Eiklīdam, lai viņš
spētu zīmēt smiltīs savus riņķus). Tāpat kā Eiklīda gadījumā, šai programmu
sistēmai ir savi potenciālie produkti («tie loki, kurus varētu ievilkt tajā
riņķī...»); tāpat kā Eiklīda gadījumā, par šiem potenciālajiem produktiem var
izteikt kaut kādus «stāstus» (teorēmas); un tāpat kā Eiklīda gadījumā, šie
«stāsti» nav pretrunā ar kaut kādu aksiomu sistēmu – tikai, atšķirībā no
Eiklīda gadījuma, šoreiz tās izrādās Lobačevska aksiomas ar grozītu Piekto
postulātu.
.602. Principā tāpat tas ir ar Rīmana
ģeometriju – tāpat ir «interpretācijas», tāpat ir specifiski objekti un
darbības ar tiem, tāpat ir vajadzīgas smadzeņu programmas, lai šīs darbības
izpildītu, tāpat ir šo programmu potenciālie produkti un teorēmas par tiem,
kuras nav pretrunā (ar vēl vienu) aksiomu kodeksu...
.603. Un tā, Lobačevska un Rīmana ģeometriju
(primāri) atšķir no Eiklīda ģeometrijas ne Piektais postulāts, bet gan
ģeometrisko objektu konstruēšanas programmas (tajās iebūvētie algoritmi). Ja
lietosim objektu konstruēšanai šos algoritmus, tad dabūsim attiecīgi Lobačevska
un Rīmana ģeometrijas, kaut arī vispār neko nebūtu dzirdējuši par Piekto
postulātu. Postulāts ir sekundāra lieta, un attiecas uz stāstu par
primārajiem objektiem. Tas tikai vēsturiski tā iznāca, ka Lobačevskis vispirms
sāka domāt par Piekto postulātu, un tikai pēc tam izdomāja algoritmus, kā
konstruēt objektus, kas šo (alternatīvo) postulātu apmierinātu.
2000.10.24 18:59 otrdiena
(pēc 5 mēnešiem, 3 dienām, 3 stundām, 49
minūtēm)
.604. Šeit es izklāstīju idejas, kuras jau
neskaitāmas reizes esmu klāstījis pēdējo 22 gadu laikā. Šīs idejas ir
fundamentālas – tās ir fundamentālākas nekā ideja grozīt Piekto postulātu vai
kā Gēdeļa teorēma. Lobačevska un Gēdeļa idejas vairāk vai mazāk turējās
iepriekšējo matemātisko priekšstatu ietvaros (piemēram, no punktā {.530}
minētajiem četriem momentiem tās neaizskāra divus pirmos, kurpretī Vēras
teorija «apgāž» visus četrus). Neviens un nekad pasaules vēsturē nav skatījies
uz matemātiku tā, kā to dara Vēras teorija, – vismaz es neesmu sastapis nekur
ne mazākās šādu uzskatu pēdas. Tāpēc Vēras teorijas ievešana matemātikā būtu
fundamentālākais apvērsums tās vēsturē.
.605. Jautājums par to, vai šāds skats uz
matemātiku ir vai nav pareizs, – tas lielā ziņā ir jautājums par to, ir vai nav
cilvēks informācijas apstrādes sistēma. Ja cilvēks (viņa smadzenes) ir
bioloģisks kompjūters, tad skaidrs, ka visi tie informātiskās dabas secinājumi,
kurus izdara Vēras teorija, ir pareizi. Ja nu cilvēks tomēr nav informātiska
sistēma, tad par Vēras teorijas nozīmi matemātikā vēl varbūt varētu strīdēties.
Bet cilvēka smadzenes ir tādas, kādas tās ir, neatkarīgi no tā, ko mēs par tām
(un par sevi) domājam. Tas ir tāds pats objektīvs fakts kā Zemes forma vai
Saules sistēmas uzbūve, un šis fakts neizbēgami ar laiku sāks noskaidroties
cilvēces Zinātnē.
.606. Ja izrādīsies, – kā tas ir bijis
daudzreiz Zinātnes vēsturē –, ka izsmietā un noniecinātā teorija ir
izrādījusies pareiza, tad pacelsies jautājums: Kā tas varēja būt, ka Latvijas
«zinātniskā doma» vairāku gadu desmitu laikā bija tik absolūti nespējīga
uztvert, saprast un novērtēt šīs idejas, izturējās tik nelabojami naidīgi, ka
Valdim Eglem galu galā nācās laist darbā satīru, izsmieklu un ņirgāšanos?
.607. Šobrīd uz šo jautājumu es atbildētu tā:
Tādēļ, ka Latvijas «zinātne» bija ārkārtīgi provinciāla; faktiski nekāda
zinātne Vēras teorijas skartajā jomā Latvijā nepastāv. Latvijā varbūt ir izcili
zinātnieki citās jomās – valodniecībā, vēsturē, ķīmijā, fizikā, medicīnā –, bet
tajos laukos, ko skar Vēras teorija, nekādu zinātnieku Latvijā nav; nav
cilvēku, kuri būtu spējīgi domāt pasaules mēroga kategorijās, kuri justos
spējīgi izlemt pasaules mēroga jautājumus un līdz ar to kārtot Pasaules
Zinātnes likteņus; ir tikai bezgalīgs mazvērtības komplekss «Rietumu domas»
priekšā; tikai no turienes gaida «lielos risinājumus», bet paši ir aizņemti ar
«zinātnisko grādu» un grantu meklēšanu; līksmo un lepojas, ja ir izdevies
«iefīrēt» savus rakstiņus kādā Rietumu žurnālā, un ir pilnīgi nespējīgi
izskatīt kādu lielu lietu pēc tās būtības; raugās tikai vienā plāksnē: «Es esmu
zinātņu doktors, bet Valdim Eglem nav nekādu zinātnisko grādu»...
[1] Hilbert D. «Die
Grundlagen der Geometrie». 1899.
[2] Гильберт Д. «Основания
геометрии». Гостехиздат, Москва – Ленинград, 1948.
[3] Погорелов А.В. «Основания
геометрии». Издание третье. Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов
математических специальностей университетов и педагогических институтов.
Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы,
Москва, 1968.
[4] Погорелов А.В. «Геометрия.
Учебник для 7–11 классов общеобразовательных учреждений». Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации. 5-е издание. Просвещение,
Москва, 1995.
[5] Погорелов А.В. «Элементарная
геометрия». Издание третье, дополненное. Наука, Главная редакция физико-математической
литературы, Москва, 1977.
[6] Weyl Herman. «David Hilbert and His Mathematical Work». Bull. Amer.
Math. Soc. 50 (1944), 612–654; Bol. Soc. Mat. Sao Paolo 1 (1946), 76–104; 2 (1947),
37–60.
Krievu tulkojums grāmatā:
Констанс Рид. «Гильберт». «Наука», Москва, 1977.
[7] Рид Констанс. «Гильберт».
«Наука», Москва, 1977, 333–334.lpp.
Nav komentāru:
Ierakstīt komentāru