ARTINT-04

Grāmata: Valdis Egle. «Mākslīgais intelekts»

https://vekordija.blogspot.com/2018/12/l-artint.html

Fragments no šīs grāmatas:

26. Atbilde uz recenziju

§97. Atbildes sākums profesoram Tambergam

1999.09.13 16:03 pirmdiena

(pēc 4 dienām)

.1531. Vispirms pateiksimies profesoram Tambergam par ziedoto laiku un par vispārīgo atbalstu, kas ir pirmais no Latvijas zinātnieku aprindām nākušais. Personīgā sarunā Tamberga kungs man teica pat tā: «Vēras teorijai ir tiesības uz eksistenci, – par to es stāvu un krītu; jautājums ir tikai par to, kā tā izskatās pasaules zinātnes kontekstā».

.1532. Tādējādi profesors Tambergs bija pirmais Latvijas zinātnieks, kurš atzina Vēras teorijas tiesības uz eksistenci, kā arī nepieciešamību to «kvalificēti un atbilstoši novērtēt» {.1516}. Kas attiecas uz «pasaules zinātnes kontekstu», tad, protams, – tas ir jāpaskatās, un mēs to pamazām arī darām.

.1533. Nevajag aizmirst, ka profesora Tamberga recenzija ir uzrakstīta tikai par «Lases» 1.laidienu, un tagad, kad tā tiek ievietota 4. laidienā, daudz kas tur ir jau novecojis: sen jau «Lasē» ir publicēti plaši materiāli par psiholoģiju, kontinuuma problēmas iztirzājumi utt. Šeit šīs jau aktualitāti zaudējušās vietas neskarsim, bet pievērsīsimies tiem recenzijas momentiem, kuri vēl joprojām ir aktuāli.

.1534. Profesors Tambergs iesāk ar manas teorijas atstāstījumu. Tā ir ļoti pareiza pieeja – dažās seno filosofu skolās tas bija pat likums: vispirms vajadzēja atstāstīt sava pretinieka uzskatus un tikai tad, ja pretinieks atzina, ka tie atstāstīti pareizi, oponents ieguva tiesības šos uzskatus apstrīdēt.

.1535. Jūsu, Tamberga kungs, atstāstījumu es atzīstu par samērā pareizu un, ja mēs atrastos kādā no tām filosofu skolām, tad tiesības apstrīdēt manu teoriju es Jums dotu. Tas ir samērā rets gadījums, jo parasti oponenti atstāstīt manis teikto nespēj – un tad aizrautīgi uzbrūk man. Bet tie, kuri atstāstīt var, nezin kādēļ nekad neuzbrūk, – tāpat kā Jūs. Te pastāv kaut kāda noslēpumaina likumsakarība.

.1536. Tomēr arī Jūsu atstāstījumā ir dažas neprecizitātes, kuras mēs tagad izskatīsim – ne aiz iedzimta pedantisma, bet tādēļ, ka dažiem no šiem momentiem var būt ļoti liela nozīme kontinuuma problēmas un citu lietu izpratnē.

§98. Primārās un sekundārās lietas Vēras teorijā

.1537. Neprecīzs ir viss punkts {.1471}. Jūs tur rakstāt, ka es: «...visus matemātikas pamatjē­dzienus un operācijas atvasinot kā sekundāras un izrietošas tikai no šī modeļa». Ko te nozīmē vārds «sekundāras»: – vai tas nozīmē to pašu, ko manā tekstā, vai kaut ko citu? Šī neskaidrība var radīt lasītājam jucekli. Vēras teorijā jau gadu desmitiem ilgi tiek strikti nošķirtas divas lietas, vienu no kurām apzīmē ar vārdu «primārs» (algoritms, kopa utt.) un otru ar «sekundārs» (algoritms, operācija u.c.).

.1538. Primāras ir darbības ar pašām kopām. Ja Jūs, piemēram, iedomājaties sešus ābolus un tad, tāpat domās, sadalāt tos divās apakškopās – pa trim sev un man –, tad Jūsu galvā ir nostrādājušas primārās programmas: tās uzbūvēja sešu ābolu nomināliju Jūsu smadzenēs, darbojoties ar šo nomināliju, tās izpildīja (primāro) dalīšanas operāciju, iegūstot divas atsevišķas kopas (Jūsu āboli un mani āboli).

.1539. Turpretī, ja Jūs paņemat zīmuli un rakstāt uz papīra: «6/2=3», tad Jūsu galvā nostrādā pavisam cita rakstura programmas, kuras Vēras teorijā saucas par sekundārajām. Jo tālāk Jūs iedziļināsieties matemātikā, jo vairāk Jums nāksies darboties ar zīmuli un papīru, ar ciparu un funkciju zīmēm (tātad ar sekundāro aparātu). Bet kaut kādu tur ciparu rakstīšana uz papīra varēs būt Jums noderīga tikai tāpēc un tikai tikmēr, kamēr saglabāsies atbilstība starp primārajām un sekundārajām darbībām. Šī atbilstība bija labi saskatāma piemērā ar sešiem āboliem, bet tālāk tā kļūst arvien grūtāk ieraugāma ar netrenētu aci. (Un rezultātā cilvēki pazaudē priekšstatu par matemātikas būtību).

.1540. Tāpēc, ja tiek lietota Vēras terminoloģija, tad nav pareizi teikt, ka (matemātiskās) operācijas tiek atvasinātas «kā sekundāras un izrietošas tikai no Vēras modeļa».

§99. Kopas jēdziena sakrišana matemātikā un Vērā

.1541. Otrs tajā pašā punktā {.1471} skarts ļoti būtisks moments ir izteikts Jūsu vārdos par to, ka, jūsuprāt, kopas izpratne Vēras teorijā «atšķiras no kopas jēdziena izpratnes tradicionālajā matemātikā». Šis jautājums ir fundamentāls. Ja Vēras teorijā kopas jēdziens atšķiras no matemātikā lietotā, tad Vēras teorija un matemātika ir divas pilnīgi dažādas lietas, divas dažādas «spēles» – kā šahs un dambrete –, un Vēras teorijai nav nekāda sakara ar matemātiku.

.1542. Tāda jau gandrīz 20 gadus ir, piemēram, «Kantoriānas» diskusijā Ķikusta sludināta tēze: «Valda Egles teorijai nav nekāda sakara ar matemātiku, un tāpēc nekādi viņa spriedumi matemātiku principiāli nevar skart».

.1543. Pareizs domāšanas ceļš, turpretim, ir šāds: Jūs – līdz ar mani – pieņemat, ka Vēras teorijā un matemātikā kopas izpratne IR viena un tā pati (tikai dažādos vārdos – modeļos – aprakstīta). Tas būtībā ir tas pats Vēras pamatpostulāts: «smadzenes ir kompjūters». Līdzko šāds pieņēmums ir izdarīts (postulāts pieņemts), tā uzreiz rodas vajadzība izskaidrot, kādā ceļā smadzenes (tātad kompjūters) var dabūt, piemēram, kontinuuma kopas jēdzienu un domāt par to. Tas, kas Jums liekas nesakrītam ar tradicionālo jēdzienu, ir Vēras teorijas atbilde uz tikko kā deklarēto problēmu. Vēras teorija atbild: lai smadzenes (tātad kompjūters) spētu domāt par kontinuuma kopu, viņā ir jābūt tādām un tādām programmām, un tām jādarbojas tā un tā.

.1544. Skaidrs, ka pirmajā acu uzmetienā Jums tas izskatīsies savādāk nekā tradicionālajā matemātikā, jo tur taču ne par kādām smadzeņu programmām runa nebija. Taču īstenībā šī atšķirība ir tikai izpratnes dziļumā. Tradicionālajā matemātikā redz tikai «aisberga virsotni», kamēr es parādu arī visu «zemūdens daļu». Neviens no tradicionālajiem matemātiķiem (ieskaitot Ķikustu) nezina, kā piespiest lelli Džimmiju vai Dolliju[1] domāt un spriest par kontinuumu. Bet es to zinu – un stāstu. Tā ir tā faktiskā atšķirība.

.1545. Tātad kopas jēdziena sakrišana Vēras teorijā un tradicionālajā matemātikā ir postulāts (vai arī pamatpostulāta tuvākās sekas – kā nu to formulēsim) un pati par sevi nav apstrīdama (t.i. – šīs sakrišanas apstrīdēšana nozīmē neko citu, kā vien atteikšanos no pamatpostulāta).

.1546. Protams, atteikties no postulātiem drīkst; piemēram, kad mēs postulātu, ka Saule riņķo ap Zemi, aizstājam ar postulātu, ka Zeme riņķo ap Sauli. Bet tad, ja mums ir zinātniska domāšana, mēs varam pateikt, kādēļ otrais postulāts ir «labāks», kādus faktus nav iespējams izskaidrot pie pirmā postulāta.

.1547. Analoģiskā veidā drīkst atteikties arī no Vēras pamatpostulāta (un tātad no kopu jēdzienu sakrišanas Vēras teorijā un matemātikā), bet tad ir jāparāda, kādus tieši faktus (šajā gadījumā – matemātiskus) nav iespējams izskaidrot, pieņemot Vēras pamatpostulātu un tālāk pieņemot to, ka «tradicionālās matemātikas» kopas «īstenībā» ir tieši tas, ko par tām stāsta Vēras teorija.

.1548. Lūk, šīs (būtībā tik vienkāršās) lietas 20 gados tā arī nespēja aptvert «Kantoriānas»[2] varoņi Podnieks, Ķikusts un pārējie.

.1549. Un trešā lieta, kas jāprecizē punktā {.1471}, ir Jūsu izteiciens «galu galā V. Egle nonāk līdz tradicionālajai matemātikai». Precīzi būtu jāsaka: «...nonāk līdz tradicionālajā matemātikā aplūkotajām lietām», jo savādāk lasītājs var nodomāt, ka es nonāku arī pie tradicionālajā matemātikā lietotās pieejas (un līdz ar to neko jaunu neesmu devis).

§100. Šerloka Holmsa deduktīvā metode

.1550. Punktā {.1473} manis teiktais par formālā pierādījuma un kvantuālo situāciju attiecībām ir atstāstīts visumā precīzi un pareizi (izņemot vienu: kvantuālās situācijas nosaka matemātiskā fakta eksistenci nevis Vēras teorijā, bet gan reālajā pasaulē, saskaņā ar Vēras teoriju). Taču man gribētos, izmantojot šo izdevību, papildināt sacīto ar dažiem apsvērumiem, kurus grāmatā LASE1 neminēju, lai pārāk nenovirzītos no kursa.

.1551. Runa ir par vispār loģikas, spriedumu un pierādījumu lomu un būtību. Tradicionālajā matemātikā (un arī daudzās citās nozarēs) valda uzskats, ka pie patiesa secinājuma var nonākt loģisku spriedumu ceļā. Lai izdarītu šādus pareizus spriedumus, vajag ievērot zināmus likumus, zināmas kārtulas, kurus cilvēki jau vismaz trīstūkstoš gadus cenšas «atkailināt», padarīt pēc iespējas skaidrākus, precīzākus, viennozīmīgākus. Aristotelis tos centās formulēt siloģismos, Frēge pūlējās fiksēt ar matemātiskās loģikas zīmēm utt. Šādu «pareizu» spriedumu virkne saucas par pierādījumu, un pierādījums, saskaņā ar tagad (sevišķi matemātikā) dominējošo paradigmu, ir augstākais patiesības kritērijs.

.1552. Taču, ja mēs sākam domāt par to, kā iebūvēt domāšanu lellē Dollijā (un ja pa šo ceļu aizejam jau drusku tālāk par pašiem pirmajiem soļiem), tad mēs redzam, ka formālajai loģikai, visiem šiem «atkailinātajiem» Aristoteļa un Frēges likumiem un paņēmieniem nemaz nav un arī nevar būt tik liela loma, kādu tiem piešķir tradicionālajā zinātnē.

.1553. Nav iespējams iebūvēt Dollijā domāšanu, izmantojot tikai šos viņu «loģiskos likumus». Visi šie «loģikas likumi» ir diezgan tāls domāšanas produkts (un principā neobligāts), kamēr pamatā ir pavisam pavisam kas cits, un proti: MODELIS, priekšstats.

.1554. Aplūkosim pirmo prātā ienākušo piemēru: pieņemsim, ka Dollijai gribas dzert; viņa atrodas viesos, puķu dārzā draudzenes mājas priekšā un domā redzējusi aiz mājas aku, pie kuras varētu padzerties. Otra viešņa, Mollija, turpretim, apgalvo, ka aiz mājas nekādas akas neesot (pati saimniece ir kaut kur aizgājusi, un viņai to nav iespējams pavaicāt).

.1555. Skaidrs, ka aiz mājas aka vai nu ir, vai nav, «tertium non datur», trešā izslēgtā likums utt. Bet tikai visai šai loģikai nebūs nekādas lomas, kad mēs taisīsim programmas, kuras ļautu Dollijai izkļūt no šīs situācijas. Šīs programmas īstenībā vienkārši izmantos divus apkārtnes modeļus: vienu, kurā aka aiz mājas ir, un otru, kurā akas aiz mājas nav. Dollijas programmu uzdevums būs: izstrādāt (uzbūvēt sev galvā) šos divus modeļus un tad izlemt, pēc kura no tiem tālāk vadīties.

.1556. Pieņemsim, ka Dollija pieceļas no šūpuļkrēsla, apiet apkārt mājai un paskatās, ir tur aka vai nav. Kas tagad ir noticis? Dollija tiešā, vizuālā ceļā (caur gaismas frekvenču diapazona elektromag­nētisko lauku) uzbūvēja sev galvā pareizu apkārtnes modeli.

.1557. Tagad pieņemsim, ka Dollija no šūpuļkrēsla nepiecēlās, bet toties trešajā krēslā blakus Dollijai un Mollijai sēdēja misters Šerloks Holmss. Kūpinādams slaveno pīpi un lietodams savu deduktīvo metodi, viņš secināja, ka aiz mājas aka ir, jo: 1) viņš bija pamanījis un ievērojis, ka pirms pusotras stundas no tās puses atnāca dārznieks ar pilnu lejkannu rokā; 2) pirms 45 minūtēm uz to pusi aizgāja kalpone, pēc tam aiz mājas bija dzirdama vinčas čīkstoņa un kalpone atgriezās ar nošļakstītu priekšautu; 3)... utt.

.1558. Ar vārdu sakot, vecais misters Holmss kārtējo reizi demonstrē savas spējas, Dollija un Mollija ir sajūsmā, bet ceturtajā krēslā sēdošais doktors Vatsons kaut ko cītīgi pieraksta savā kladē.

.1559. Kas notika mistera Holmsa galvā no Vēras teorijas viedokļa, kad viņš veica šo savu kārtējo brīnumdarbu? Viņš uzbūvēja apkārtnes modeli, vadoties no dažiem citiem modeļiem: no tā modeļa, kurā figurē dārznieks, no tā, kurā figurē kalpone utt.

.1560. Šis piemērs tikai ilustrē vispārīgu Vēras teorijas tēzi: jebkurš pierādījums ir modeļa būvēšana tādos apstākļos, kad šo modeli nevar uzbūvēt tiešākā ceļā. Arī tiesā, kad zvērinātajiem jāizlemj, vai apsūdzētais ir vai nav vainīgs, viņi, vadoties no dažādiem citiem modeļiem («pierādījumiem»), cenšas izstrādāt galveno modeli: kā notika noziegums un vai apsūdzētā persona tur piedalījās vai nē. Arī Kantors, kad viņš izved diagonālo procesu un atrod, ka ir atrasts jauns skaitlis, kura nav starp sanumurētajiem, būvē modeli: modeli, saskaņā ar kuru iracionālo skaitļu ir bezgalīgi daudz vairāk nekā racionālo; modeli, saskaņā ar kuru pastāv vismaz divi bezgalību apjomi (skaitāmais un kontinuums) – utt.

.1561. Taču vienas un tās pašas lietas modeļi var tikt uzbūvēti dažādos ceļos. Dollija varēja piecelties no šūpuļkrēsla un bez visiem Holmsa spriedumiem pati paskatīties, ir aiz mājas aka vai nav. Iztiesājamā nozieguma norises modelis arī ir problēma tikai priekš tiesnešiem un zvērinātajiem; aculieciniekam šeit nekāda pierādījumu izsvēršana nav vajadzīga, jo viņš tiešā veidā zina, kā tas viss notika.

.1562. Tagad padomāsim, kuram modelim atdot priekšroku, ja izrādās, ka deduktīvā ceļā uzbūvētais un tiešā ceļā iegūtais situācijas modeļi atšķiras. Piemēram, Holmss ar savu spožo prātu ir secinājis, ka aka aiz mājas ir, bet Dollija aiziet un paskatās – nav! Skaidrs, ka tādā gadījumā priekšroka dodama tiešā ceļā gūtajiem modeļiem, jo, deduktīvi būvējot modeli, ir ļoti viegli pieļaut kaut kādas neprecizitātes, kaut kur kļūdīties utt. Piemēram, varēja izrādīties, ka dārznieks atnesa pilno lejkannu nevis no akas, bet no baļļas, pilnas ar vecu, rāvainu ūdeni. Kalpone gāja nevis pie akas, bet nošļakstīja priekšautu, pārlejot pagrabā paniņas, un vinča šajā brīdī čīkstēja kaimiņu sētā viņpus žoga.

.1563. Tāda pati situācija ir arī matemātikā. Tikai tradicionālajā matemātikā nepastāvēja ceļi, kā tiešā veidā būvēt attiecīgos modeļus (jo nebija zināms matemātikas patiesais priekšmets), tāpēc pierādījums bija vienīgā iespēja. Bet, ja pieņem Vēras pamatpostulātu, ka smadzenes ir kompjūters, ka visu matemātiku ir radījis šis kompjūters, un ja ir skaidrs, kādas tieši smadzeņu programmas ir bijušas iesaistītas šajā lietā, tad parādās iespēja būvēt situācijas modeļus ne tikai pierādījumu ceļā, bet arī daudz tiešākā veidā – izejot no šo programmu darbības aplūkošanas.

.1564. Paņemsim šādu datorprogrammu (nosauktu par «ODDAB»), kas uzrakstīta Borland Pascal programmēšanas valodā:

.1565.

Program ODDAB;

Uses Crt, Dos, Doxa;

Var n: word; FileA : text; FileB : text;

Begin

Assign ( FileA, 'C:\aaa.pop' );

Rewrite ( FileA );

Assign ( FileB, 'C:\bbb.pop' );

Rewrite ( FileB );

for n := 1 to 65535 do

begin

if Odd (n) then Writeln ( FileA, Strin (n) )

else Writeln ( FileB, Strin (n) );

end;

Close ( FileA );

Close ( FileB );

End.

.1566. Pat neizpildot šo programmu, es varu pateikt (un jebkurš pietiekoši kvalificēts program­mētājs var pateikt), ko tā darīs. (Funkcija «Odd» nosaka, vai arguments ir pāra vai nepāra skaitlis; funkcija «Strin» pārvērš skaitli (īstenībā, protams, notāti) no binārās formas drukājamā veidā; pārējās procedūras organizē failu izvadu).

.1567. Šī programma ierakstīs diska C saknes direktorijā divus failus: «aaa.pop» un «bbb.pop», pie kam vienā no tiem sarakstīs visus pārskaitļus līdz 65535, bet otrā – visus nepārskaitļus. Abi šie faili reāli nekur neeksistē (jo programma nav izpildīta), bet par abiem failiem mēs varam izdarīt zināmus secinājumus kā par programmas ODDAB potenciālajiem produktiem (t.i. – uzbūvēt sev galvā programmas ODDAB izpildīšanas rezultātu modeli; paplašinājums «pop» nozīmē «potenciāls produkts»). Šajos secinājumos (šajā modeļa būvēšanā) es neizmantoju nekādus «loģiskus pierādījumus» viņu matemātiskajā izpratnē. Es izmantoju vienkārši savas zināšanas par programmām vispār un konkrēti par šo programmu.

.1568. Tieši tāpat, ja es zinu, kādas programmas strādā smadzenēs, tad es varu izdarīt secinājumus par to, ko šīs programmas izdarīs (par viņu potenciālajiem produktiem), neizmantojot nekādus «loģiskos pierādījumus» viņu matemātiskajā izpratnē, bet gan balstoties vienkārši uz savām zināšanām par programmām vispār un par tām konkrētajām programmām, par kurām ir runa. Līdz ar to es būšu uzbūvējis sev galvā šo programmu izpildīšanas rezultātu modeli.

.1569. Šādas zināšanas par šo programmu potenciālo darbību (t.i. šīs darbības rezultātu modelis) Vēras teorijā saucas par kvantuālo situāciju. Programmai ODDAB kvantuālā situācija ir šāda: divi faili (arī fails ir kopa) diska C saknes direktorijā; vienā atrodas pārskaitļu, otrā nepārskaitļu notātes.

.1570. Tagad, ja ir pieņemts Vēras pamatpostulāts un tā rezultātā mēs uzskatām, ka matemātikas kopas un attiecīgo smadzeņu programmu radītās kopas ir viens un tas pats, tad mums ir iespēja būvēt lietas apstākļu modeļus divos ceļos: 1) izejot no smadzeņu programmām un aplūkojot tās kvantuālās situācijas, kuras šīs programmas potenciāli radīs; 2) un Šerloka Holmsa garā ar deduktīvo metodi caur pierādījumiem.

.1571. Ja abi ceļi dod vienu un to pašu rezultātu (kā tas bija Hipāzija teorēmas gadījumā), tad problēmu nav. Ja, turpretim, abi ceļi dod dažādus rezultātus, dažādus lietas apstākļu modeļus, tad priekšroka dodama kvantuālajām situācijām, nevis matemātiskajam pierādījumam. Šajā gadījumā pierādījumā ir bijusi kļūda un, salīdzinot kvantuālo situāciju ar matemātisko pierādījumu, viegli var atklāt, kur tieši bija kļūda. (Dārznieks patiesībā smēla ūdeni no baļļas; kalpone īstenībā pagrabā pārlēja paniņas).

.1572. Konkrēti, visos «Kantora teorēmas» gadījumos tās pierādījumos ir kļūdas (un attiecīgajos manos sacerējumos tiek parādīts, kādas tieši kļūdas). Kvantuālās situācijas dod pareizāku, precīzāku lietas patieso apstākļu modeli; Kantora uzbūvētais modelis ir dabūts ar neprecīziem secinājumiem, izejot no neprecīziem starta modeļiem.

.1573. Tādas ir attiecības starp kvantuālajām situācijām un matemātiskajiem pierādījumiem, ja mēs šo jautājumu aplūkojam detalizētāk, nekā tas bija izdarīts grāmatā LASE1.

.1574. Punktā {.1476} izteicienā «V. Egle atrod, ka, šīs teorēmas pierādījumos izmantojot iracionālo skaitļu teorijas Veierštrasa un Dedekinda modeļus, kvantuālās situācijas atšķiras no tradicionālajā matemātikā izmantotajām» – šajā izteicienā ir divas neprecizitātes. Pirmkārt, atšķirība pastāv nevis starp Dedekinda (vai Veierštrasa) modeli un tradicionālo matemātiku, bet gan starp tradicionālo matemātiku un tām kvantuālajām situācijām, ar kurām Vēras teorijā tiek aizstāti klasiskie Dedekinda un Veierštrasa modeļi.

.1575. Otrkārt, nav pareizi teikt, ka tradicionālajā matemātikā tiek izmantotas kvantuālās situācijas: šis termins ir specifisks Vēras teorijas termins, lai apzīmētu situācijas smadzeņu programmu potenciālajos produktos. Tradicionālajā matemātikā smadzeņu programmas vispār netiek aplūkotas, viņu potenciālie produkti nefigurē, un līdz ar to vispār nav nekādu kvantuālo situāciju šī jēdziena Vēras izpratnē. Tradicionālajā matemātikā pastāv tikai Vēras kvantuālo situāciju ekvivalenti, kuri ir vai nav tas pats, kas kvantuālās situācijas, atkarībā no tā, ir vai nav pieņemts Vēras pamatpostulāts. (Iespējams, ka agrākos darbos, kad šī nostāja vēl nebija izkristalizējusies, es pats esmu lietojis šo terminu no tagadējā viedokļa neprecīzi).

§101. Kontinuuma problēma

.1576. Punktā {.1477} Jūs runājat par Kontinuuma problēmu, kuras atrisinājums vēl nebija publicēts grāmatā LASE1. Tagad tas ir publicēts, bet gribētos vēlreiz visu te precizēt.

.1577. Jūsu pieminētajā manā zemsvītras piebildē bija teikts, ka Kontinuuma problēma «oficiālajā zinātnē» skaitās neatrisināta tās sākotnējā formulējumā, bet nebija teikts, ka es to esmu atrisinājis tās sākotnējā formulējumā (tās ir divas dažādas lietas).

.1578. Pēc tagadējās «oficiālās zinātnes» uzskata Kontinuuma problēmu atrisināja Pols Koens (Cohen) 1963.gadā, bet tikai ne tās sākotnējā formulējumā (tāpēc es nevarēju vienkārši pateikt, ka problēma ir joprojām neatrisināta, bet vajadzēja pieminēt to «sākotnējo formulējumu»). Koena atrisinājums ir tāds: var pieņemt, ka starp skaitāmo bezgalību אּ₀ un kontinuuma bezgalību c pastāv vēl citas bezgalības, un var pieņemt, ka nepastāv – neviens no šiem pieņēmumiem nenovedīs pie pretrunām. Un šis atrisinājums ir dots aksiomatizētajai kopu teorijai, bet ne Kantora «intuitīvajai» teorijai.

.1579. Arī manu atrisinājumu nevar nosaukt par atrisinājumu problēmas «sākotnējā formulējumā» (vismaz es pats tā nesaku), jo visa tā jēdzienu sistēma, kuru lietoja Kantors savā «sākotnējā formulējumā», Vēras teorijā netiek saglabāta negrozītā veidā, bet gan tiek aizstāta ar zināmām kvantuālajām situācijām (kuras, tikai pieņemot Vēras pamatpostulātu, tiek atzītas par tās pašas «Kantora lietas» precīzāku modeli).

.1580. Ja ir pieņemts Vēras pamatpostulāts un minētās kvantuālās situācijas atzītas par «Kantora bezgalību» precīzāku modeli, tad, analizējot šīs situācijas, viegli redzēt, ka Kantors varēs izvest savu diagonālo procesu (un tādējādi konstatēt bezgalības apjomu, lielāku par skaitāmās kopas apjomu) tad un tikai tad, ja viņa pētāmajā kopā paši elementi būs bezgalīgi.

.1581. Tātad bezgalības אּ₀ apjoms ir apjoms bezgalīgai kopai ar galīgiem elementiem, bet kontinuuma apjoms c ir apjoms bezgalīgai kopai ar bezgalīgiem elementiem. Atstāsim malā (visai absurdo) situāciju, kad vienas dimensijas bezgalība ietekmē otras dimensijas bezgalības apjomu, un uz brītiņu pieņemsim šo Kantora modeli.

.1582. Tādā gadījumā Kontinuuma problēma izskatās šādi: jautājums par to, vai starp אּ₀ un c apjomiem pastāv vēl kaut kādi bezgalību apjomi, ir jautājums par to, vai starp galīgiem elementiem un bezgalīgiem elementiem vēl var vai nevar kaut kādu apjomu vidū iespraust.

.1583. Vēras teorija ir atrisinājusi Kontinuuma problēmu caur to, ka vispār ir radīts visu šo lietu un viņu apstākļu precīzāks modelis attiecīgo kvantuālo situāciju veidā, un šos jautājumus tagad var izskatīt no pilnīgi jauna viedokļa. Protams, – ja vien pieņem Vēras pamatpostulātu, ka šīs kvantuālās situācijas īstenībā arī ir tas pats, ar ko nodarbojās Georgs Kantors un viņa sekotāji.

.1584. Ja uzskata, ka tas nav tas pats, tad Vēras teorijai nav nekāda sakara ar Kantora kopu teoriju. Tāpat kā Kopernika sistēmai nav nekāda sakara ar Ptolemaja sistēmu, ja atzīstam, ka planētas ir tikai tās zvaigznes, kuras riņķo ap Zemi, bet tie objekti, kas riņķo ap Sauli, ir pavisam kaut kas cits.

§102. Vēras teorijas pretenzijas matemātikā

.1585. Punktā {.1478} Jūs sakāt, ka Vēras teorija «pretendē vismaz uz diviem būtiskiem sasniegumiem (Kantora teorēmā un kontinuuma problēmā), kur šīs teorijas rezultāti atšķiras no tradicionālajā matemātikā līdz šim iegūtajiem». Arī to man gribētos precizēt.

.1586. Īstenībā Vēras teorijas pretenzija matemātikas laukā ir lielāka. Vispirmām kārtām tā pretendē uz to, ka pirmoreiz pasaules vēsturē ir parādījusi patieso matemātikas zinātnes priekšmetu: matemātikas priekšmets ir smadzeņu programmu kvantuālās situācijas (likumsakarības tajās) saistībā ar sekundārajiem (rēķināšanas) algoritmiem.

.1587. Tā ir tikpat fundamentāla ideja (modelis), kā, piemēram, Kopernika sistēma pretstatā Ptolemaja sistēmai vai mikrobioloģijā atziņa par to, ka slimības izraisa mikroorganismi. Tas ir tāpat, kā ja es būtu izvirzījis šo ideju, sagatavojis mikroskopu un tagad teiktu medicīnas pētniekiem: «Ņemiet šo aparātu, skatieties tajā un meklējiet, kādi baciļi izsauc kādas slimības!». Pat ja es pats nebūtu atklājis nevienu konkrētu mikroorganismu, arī tad pati ideja, pati pieeja, pats modelis vien jau būtu fundamentāls sasniegums. Ja pie tā klāt es arī pats vēl būtu atklājis, teiksim, tuberkulozes nūjiņas un sifilisa spirohetas, tad tas būtu tikai piedeva pie sākotnējā.

.1588. Tāpat arī matemātikā – toreiz, daudzus gadus atpakaļ, es teicu matemātiķiem: «Lūk, fundamentāla ideja; lūk, patiesais matemātikas zinātnes priekšmets! Ņemiet šo ideju, strādājiet ar to; jūs esat profesionāļi, tas ir jūsu lauciņš, skatieties paši, kas atklāsies tajā vai citā vietā!».

.1589. Nu, Jūs jau labi zināt, ka par atbildi viņi mani izsmēja. Tas, ka es arī pats, – nebūdams profesionālis matemātikā, – ar šī modeļa palīdzību atklāju divas Jūsu minētās atšķirības (t.i. kļūdas tradicionālajos pierādījumos un modeļos) – tas visumā ir sīkums. Ja Vēras teorijas gaismā izrevidētu visu matemātiku, tad laikam gan ne tas vien atklātos.

.1590. Es arī tagad joprojām uzskatu, ka tas nav mans pienākums, – rakņāties pa «matemātikas dārzu»; tas ir pašu matemātiķu pienākums – ņemt Vēras teoriju savā arsenālā un strādāt ar to. Ir simtiem jaunu darboņu, disertantu un aspirantu, kas meklē sev zinātniskās tēmas, – lai viņi ar to nodarbojas, lai taisa disertācijas un publikācijas; tāds darba lauks izplešas, tādas iespējas paveras: jauns, fundamentāls virziens... (Ak, muļķi, muļķi!).

§103. Vēlreiz par aksiomātiskām teorijām

.1591. Pirms ķerties pie fizikas un citām lietām, pabeigsim ar matemātiku. Jūs atgriežaties pie tās punktā {.1506} un rakstāt: «ir jāsalīdzina «tradicionālās matemātikas» (aksiomātiskās kopu teorijas) un «matemātikas Vēras teorijas izpratnē» rezultāti».

.1592. Šie vārdi liecina, ka Jūs tomēr neesat līdz galam izpratis to, kas bija tik sīki izrunāts grāmatiņā LASE1. «Tradicionālā matemātika» (tas viņas gabaliņš, kurš attiecas uz Kantora teorijām) un «aksiomātiskā kopu teorija» NAV (!) viens un tas pats, kā tas ir Jūsu citātā.

.1593. Ne jau velti es grāmatā LASE1 tik daudz runāju par aksiomām, par «siņjoru Džuzepi» {REVIS.325} utt. Skaitļi (un arī Kantora kopas un to teorijas) tika ievesti matemātikā bez kādām aksiomām. ŠIE priekšmeti tieši arī ir «tradicionālā matemātika» – un TIE ir jāsalīdzina ar Vēras teoriju. Abām šīm mācībām īstenībā ir viens un tas pats reālais priekšmets (ja pieņem Vēras pamatpostulātu). Tās ir divas teorijas par vienu un to pašu objektīvo lietu (kā, piemēram, Ptolemaja un Kopernika sistēmas ir divas teorijas par planētu kustību). Taisni tāpēc un tikai tāpēc tās var un vajag salīdzināt.

.1594. Turpretī aksiomātiski var pasludināt jebkādu sistēmu. Ja šīs sistēmas īpašības sakrīt ar to skaitļu un to kopu īpašībām, kurus cilvēki izstrādāja gadu tūkstošu laikā, – tad labi, tad tā ir vienkārši «tradicionālās matemātikas» vēl viena kopija, vēl viens ekvivalents izklāsts. Ja tai ir citas īpašības (piemēram, ja tajā izriet Kantora teorēmas pareizība), tad tas ir cits objekts, un salīdzināt to ar Vēras teoriju var tikai ārēji (liela, maza, smuka, nesmuka utt.), bet ne pēc būtības – jo abu teoriju priekšmeti ir dažādi. Nevar taču meklēt atšķirības starp Einšteina relativitātes teoriju un Darvina evolūcijas teoriju, jo tām nav viens un tas pats priekšmets.

.1595. Tāpat Vēras teorija principiāli nevar apstrīdēt nevienu aksiomātisku teoriju. Kā gan ar vienu teoriju var apstrīdēt citas teorijas aksiomas un kā var apstrīdēt no tām izrietošus secinājumus? Ja no aksiomām izriet kaut kas cits nekā Vēras teorijā, – nu tad šīm aksiomām ar Vēras teoriju gluži vienkārši vispār nav nekāda sakara.

.1596. Bet skaitļi cilvēcei netika doti aksiomātiski. Un Kantora teorija arī. Tos radīja cilvēku smadzenes pavisam savādāk. Un tāpēc TIEM ar Vēras teoriju ir visciešākais sakars.

§104. Kontinuuma apjoma pastāvēšana

.1597. Punktā {.1507} Jūs (gan minējuma formā) rakstāt: «saskaņā ar Teorikas koncepciju, matemātikā nevar pastāvēt Kantora kopas ar «kontinuuma» apjomu». Tas bija jautājums, ko Jūs man uzdevāt pa telefonu, un es atbildēju: «aptuveni tā». Tagad paskatīsimies, kā tas ir precīzi.

.1598. Ko vispār nozīmē vārdi «matemātikā pastāv kopas ar kontinuuma apjomu»? Tas ir ļoti izplūdis jēdziens, kas prasa daudzus precizējumus. Jūs taču atceraties Vēras teorijas tēzi par to, ka nekas nevar pastāvēt «tikai domās» {.1469}: ja mēs kaut ko esam iedomājušies, tad šis objekts reāli pastāv mūsu smadzenēs kā kaut kāda struktūra, kā kaut kāda modeļa sastāvdaļa? Bet Kantors taču domāja par šādām kopām ar kontinuuma apjomu, – tātad viņa galvā «tās pastāvēja». Un, ja mēs pieņemam, ka «matemātikā pastāv» tas, kas pastāv vismaz viena matemātiķa galvā (un ka Kantors bija matemātiķis), tad matemātikā noteikti «pastāv kopas ar kontinuuma apjomu».

.1599. Tātad nav šaubu, ka šādi modeļi tika izstrādāti gan paša Georga Kantora, gan daudzu citu cilvēku galvās. Jautājums ir tikai par to, kādā ceļā šos modeļus ieguva un vai šis ceļš ir uzskatāms par pieņemamu zinātniskā domāšanā.

.1600. Kantors uzbūvēja savu modeli ar «deduktīvo paņēmienu» caur savas teorēmas pierādījumu. Šis pierādījums bija neprecīzs un saturēja kļūdas. Šīs kļūdas atklāj precīzāka atbilstošo kvantuālo situāciju analīze (ja ir pieņemts postulāts, ka Kantora apdomājamais priekšmets un Vēras atbilstošās kvantuālās situācijas ir viena un tā pati lieta). Ja mēs atzīstam šo objektu identitāti, tad Kantora uzbūvētais modelis bija nepareizs, tāpat kā nepareizs bija Šerloka Holmsa izsecinātais modelis par aku aiz mājas {.1562}.

.1601. Ja Kantors domāja par kaut ko citu nekā Vēras atbilstošās kvantuālās situācijas, tad, protams, nevar apgalvot, ka Kantora modelis ir nepareizs (jo nav pareizības kritērija). Bet tad var vaicāt, kā iebūvēt Kantora domāšanu lelles Dollijas galvā? Ja tas ir principiāli neiespējami, – nu, tad ir noliegts Vēras pamatpostulāts. Ja tas tomēr ir iespējams – bet ne tajā ceļā, ko piedāvā Vēras teorija, – tad kādā veidā? Kas uz to var atbildēt?

.1602. No otras puses, Vēras teorijas modelis var izskaidrot jebkuru domāšanas fenomenu – arī Kantora modeļa uzbūvēšanu (bet tādā gadījumā ir redzams, ka šis modelis ir būvēts kļūdaini). Un ja jau Vēras teorija var izskaidrot jebkuru domāšanas fenomenu, tad kādēļ viņas pamatpostulāts būtu jānoraida?

.1603. Tā tās lietas apstāv ar to «kontinuuma apjoma pastāvēšanu».

.1604. Tagad Jūs varat teikt, ka augstāk mēs aplūkojām tikai modeļa būvēšanu Kantora galvā (un secinājām, ka modelis «ar kontinuuma apjomu» neapšaubāmi eksistē, taču ir būvēts kļūdaini). Bet kā tad ir «īstenībā», realitātē neatkarīgi no Kantora domāšanas?

.1605. «Īstenībā» – t.i. reālajā pasaulē – nepastāv ne tikai kontinuuma bezgalība, bet arī skaitāmā bezgalība. Vispār nekādi matemātikas objekti tur nepastāv tādā nozīmē, kādā tur pastāv, piemēram, fizikas vai astronomijas objekti, – tādi kā atomi vai planētas. Visi matemātikas objekti pastāv tikai kā smadzeņu konstrukcijas, un tieši tāpēc jautājums par to, kādā ceļā šie objekti smadzenēs ir dabūti, ir tik svarīgs.

.1606. To, ka aktuālā bezgalība (arī skaitāmā) nepastāv reālajā pasaulē, – to jau nenoliedza arī Podnieks «Kantoriānas» diskusijā. Tikai viņš par visām varēm gribēja, lai mēs (arī es) domātu modelī ar divām iedaļām: 1) reālajā pasaulē aktuālās bezgalības nav, un nav nekādu problēmu; 2) ja pieņemam aktuālās bezgalības abstrakciju, tad viss ir tā, kā tas ir Kantora kopu teorijā. Valdis Egle nepieņem otro variantu, tātad viņš turas pie pirmā varianta un noliedz aktuālo bezgalību.

.1607. Īstenībā tas ir primitīvs modelis, un iedaļu ir vairāk (vismaz trīs). Ar pirmo variantu («reālajā pasaulē aktuālās bezgalības nav») viss ir skaidrs. Bet tālāk nav vis tikai otrā iedaļa vien. Otrā iedaļa (Kantora kopu teorija) ir viens zināms modelis (kas satur priekšstatu par aktuālo bezgalību), un šis modelis ir būvēts ar noteiktiem paņēmieniem. Ar citiem paņēmieniem var uzbūvēt citu modeli, kurā arī pastāv jēdziens par aktuālo bezgalību, bet viss izskatās citādi nekā Kantoram. Tas ir trešais variants, un šādu modeli lieto Vēras teorija.

.1608. No manas puses būtu vienkārši smieklīgi pastāvēt uz pirmo variantu: «sak, reālajā pasaulē aktuālās bezgalības nav, tāpēc es par to neko negribu dzirdēt!». Cilvēki taču domā par aktuālo bezgalību, – tātad Vēras teorijai ir jāizskaidro, kādā veidā viņi šo domāšanu izdara, kas faktiski notiek viņu smadzenēs šīs domāšanas laikā?

.1609. Līdz ar to es nenoliedzu aktuālo bezgalību kā smadzeņu radītu zināmu modeļu sastāvdaļu. Bet, arī domājot par aktuālo bezgalību, var domāt precīzi un var domāt kļūdaini. Un Kantora domāšana ir neprecīza, bet viņa modelis būvēts ar kļūdām. Tas kļūst acīm redzams, līdzko ir izskatīti tie smadzeņu aparāti, ar kuriem šāda domāšana izpildīta. Un tad var uzbūvēt pareizāku modeli, kurš arī «satur» aktuālo bezgalību, bet kurā nav Kantora pieļauto kļūdu.

.1610. Punktā {.1509} vēlreiz atkārtojas tas, kas jau izrunāts: Vēras teorijas pretenzijas matemātikas jomā ir sašaurinātas uz «kontinuuma jēdziena pārskatīšanu tradicionālajā matemātikā». Īstenībā es piedāvāju pārskatīt vispār visu matemātikas būtību. Arī frāze «kontinuuma jēdziena pārskatīšana» ir neprecīza. «Tradicionālajā matemātikā izmanto vienu modeli, bet Vēras teorija piedāvā citu modeli to pašu lietu attēlošanai» – tā tas būs precīzāk. Un attēlošanai nevis tradicionālajā matemātikā, bet Vēras matemātikā. Tradicionālā matemātika ir viena mācība un izmanto vienu modeli (kā Ptolemaja sistēma astronomijā), bet Vēras matemātika ir cita mācība ar citu modeli (kā Kopernika sistēma kosmoloģijā).

---

[1] V.E.: Kompjūtera vadītā lelle Džimmijs tika ievesta {VISUS.646}, bet lelle Dollija {SKATI.483}. (Ar abreviatūru «V.E.:» šeit un turpmāk ir apzīmēti paskaidrojumi, kuri ir pievienoti tikai šajā grāmatā (L-ARTINT), un kuru nav oriģinālajās grāmatās).

[2] Skat. {CANTO} un {CANTO2}.