Fragments
no šīs grāmatas:
§34. Matemātika bez pamatiem
.510. Atgriezīsimies pie tās nostādnes, ar
kuru mēs iesākām šo rakstu: cilvēki, izzinot Ārpasauli, būvē savās galvās
dažādus tās modeļus. Ja mēs zinām (vai vismaz pieņemam), ka tas, kurš šos
modeļus būvē, īstenībā ir informātiska sistēma (kompjūters), tad mēs varam no
šāda viedokļa dziļāk paraudzīties ne tikai uz pašu galu galā uzbūvēto modeli,
bet arī uz visu tā būvēšanas procesu.
.511. Pieņemsim, ka modeļu būvētājs patiešām
ir smadzeņu kompjūters (tas ir Vēras pamatpostulāts) un ka visu šo modeļu būvēšanu
ir iespējams interpretēt diskrētas informātiskas sistēmas (kompjūtera)
jēdzienos un terminos, pie tam apzinoties, kā tāda sistēma būtu jātaisa, ja to
mums vajadzētu radīt pašiem mākslīgi (tās ir vispārējās Vēras nostādnes).
.512. Vēstures gaitā cilvēki nekad nav šādi
raudzījušies uz savu darbību un savām zināšanām (vismaz nav raudzījušies,
izmantojot precīzu ainu par cilvēka psihi kā informātisku sistēmu, ja arī ir
apzinājušies, ka modeļi vispār tiek būvēti). Tādēļ ļoti daudzi jēdzieni (modeļi
vai modeļu daļas) ir vēsturiski gadsimtos veidoti un uzbūvēti, neievērojot šādu
priekšstatu par cilvēka garīgās darbības būtību. Tad bieži vien no Vēras
teorijas viedokļa šie modeļi ir jāpārskata, jāprecizē, un tad arī problēmas,
kuras formulētas šajos (no Vēras viedokļa neprecīzajos) modeļos, izskatās
pavisam savādāk, ja tās «pārceļ» uz precīzāku modeli.
.513. Es šo vispārīgo tēzi atgādināju tāpēc,
ka tagad mums ir pienācis laiks pievērsties tādām Jūsu rakstā skartām lietām,
kur Jūs izmantojat šādus modeļus (priekšstatus), kuri gan ir ļoti plaši
pazīstami (jo ir «tradicionālās zinātnes» pieņemti un atzīti), bet ir
fundamentāli kļūdaini vai neprecīzi, līdzko mēs paraugāmies uz cilvēku kā uz
informātisku sistēmu.
.514. Piemēram, no Vēras viedokļa Jūsu rakstā
pati problēmas nostādne par matemātikas pamatiem ir nepareiza un ačgārna: tā ir
tāda, kādu to redz tradīcija, kurai par smadzeņu kompjūtera darbību nav bijis
nekādas saprašanas. Tā ir tāda, kā tā aprakstīta tūkstošos grāmatu, – kuru
autori par kompjūteriem (tajā skaitā bioloģiskajiem) nav neko zinājuši.
.515. «Vērtējot eksakto zinātņu attīstību» – Jūs rakstāt – «no mūsu postmoderniskā laikmeta skatījuma, redzams, ka zinātnes krīzes pamati bija ielikti jau ar deduktīvi loģiskās metodes aizsākumu Senajā Grieķijā. Slavenā Eiklīda piektā postulāta problēma (..) galu galā noveda pie neeiklīda (Lobačevska, Rīmana) ģeometriju atklāšanas pagājušajā gadsimtā, kurās tika izmantotas šīs problēmas risinājuma pārējās iespējamās alternatīvas» (215.lpp.).
.516. Jā, tāda ir tagadējo tradicionālo
uzskatu paradigma, kurai Jūs arī sekojat. Taču šī paradigma, pirmkārt,
neatbilst vēsturiskajai patiesībai un, otrkārt, arī no Vēras modeļa viedokļa
viss te prasa būtiskus precizējumus.
.517. Eiklīds (un viņa antīkie priekšgājēji un
sekotāji) neradīja «deduktīvi loģisko metodi» («aksiomātisko metodi») tajā
ziņā, ka viņi būtu gribējuši to radīt un ka tāds būtu bijis viņu mērķis
(nedaudz zemāk es par to pastāstīšu sīkāk {.545}). Tikai Dekarta laiku
racionālisti ieraudzīja Eiklīda pieejā šādu sistēmu un šādu metodi; tikai 19.
gadsimtā (kad nāca Lobačevskis, Boljai un Rīmans), «aksiomātisko metodi» sāka
(neredzot citu pieeju matemātikas būtībai!) uzskatīt par «matemātikas pamatiem»
un tad arī sāka taisīt visvisādas aksiomātiskas sistēmas – no Peāno aksiomām
naturālajiem skaitļiem līdz Kolmogorova aksiomām varbūtību teorijai.
.518. «Bet tagad, 20. gs. beigās, – Jūs turpināt – pielietojot neeiklīda ģeometrijas kosmoloģijā, mums joprojām nav stingras atbildes uz jautājumu: «Vai mūsu Visuma telpas-laika ģeometrijai atbilst slēgtais (Rīmana ģeometrijas) vai vaļējais (Lobačevska ģeometrijas) kosmoloģiskais modelis?» (215.lpp.).
.519. Jā, tāda ir tradicionālā paradigma un
tradicionālā jautājuma nostādne. Taču šī jautājuma nostādne ir nepareiza jeb
neprecīza (šajā gadījumā tas ir viens un tas pats). Pirms spriest par problēmu
un to risināt, vajag pa priekšu pareizi nostādīt jautājumu. (Kā teic paruna,
«Pareizi uzdot jautājumu ir jau puse no atbildes»). Nedaudz zemāk mēs
jautājumus par Visuma telpu stādīsim pareizā plāksnē.
.520. «Mēs visi joprojām pārsvarā sarunājamies pēc klasiskās (Aristoteļa) formālās loģikas likumiem, bet jau ap 19./20. gs. miju tika atklāta vesela virkne t.s. neklasisko loģiku, kas vēl gaida savu pielietojumu» (215.–216.lpp.).
.521. Tā sauktās «neklasiskās loģikas» ir
tikai vārdi, kurus izmanto daži autori savos modeļos būtībā ļoti vienkāršu
lietu (ne visai veiksmīgai) apzīmēšanai. Arī jautājums, kas īsti ir Aristoteļa
(formālā) loģika, prasa precizējumus. Tā nekad nav tikusi (vismaz pienācīgā
līmenī) izskatīta kā bioloģiska kompjūtera darbošanās (kurš taču tieši arī
realizē šo «loģiku»).
.522. Nosaukums «loģika» ceļas no grieķu
«logos» – «vārds» (arī «likums», par cik patriarha vārds pārējiem bija likums).
No Aristoteļa un pārējo grieķu viedokļa loģika bija mācība par to, kā pareizi
lietot un saistīt vārdus savā runā. Galvenā figūra bija siloģisms – viena
noteikta vārdu konstrukcija.
.523. Ja mēs (Aristoteļa) «loģiku»
saprotam šādā ierobežotā nozīmē, tad, protams, tā nav vienīgā iespējamā. Bet ja
mēs raugāmies uz domāšanu kā uz bioloģiska kompjūtera darbību, tad loģika ir
«mācība» par to, ar kādiem algoritmiem var dabūt pareizu rezultātu. Pašu
algoritmu var būt milzīgs lērums un tie var būt visdažādākie, bet loģika (kā
kritēriju sistēma par to, kad risinājums ir pareizs un cik lielā mērā vai kādos
apstākļos pareizs) – loģika ir tikai viena.
.524. Tā sauktās «neklasiskās loģikas»
īstenībā nav nekas cits, kā vien kāda īpatnēja algoritma pielietošana domāšanā.
Piemēram, «klasiskajā loģikā» darbojas «trešā izslēgtā likums» (tertium non datur) – «lieta vai nu eksistē, vai neeksistē»; ja viens variants noved pie
pretrunas, tad spēkā ir otrs variants. Nu, tātad dažās sistēmās, būvējot savu
modeli, cilvēki izmanto šādu algoritmu un uzskata, ka attiecīgais objekts
pastāv vai nepastāv (atkarībā no tā, kurā vietā bija dabūta pretruna), un tad
attiecīgo konstrukciju iekļauj vai neiekļauj būvējamajā modelī.
.525. T.s. «konstruktīvā loģika» šo likumu
noliedz – tātad vienkārši, būvējot savus modeļus, konstruktīvisti šādu
algoritmu nelieto un savos uzbūvētajos modeļos uzskata, ka par attiecīgo
objektu nekas nav zināms.
.526. T.s. «varbūtību loģika» līdzīgos
gadījumos lieto algoritmu, kas novērtē dažādu iespēju varbūtību un tad operē ar
šīm varbūtībām dažādās kombinācijās. Tā arī visa «māksla».
.527. «Marksistiski-ļeņiniskie» filozofi bija
vēl izdomājuši «dialektisko loģiku», kura pieļāva pretrunas. Tāds domāšanas
algoritms bija vajadzīgs laikam tādēļ, lai varētu, līdzīgi Džordža Orvela
personāžam, iesākt teikumu apstākļos, kad Okeānija karo ar Eirāziju, bet
pabeigt, kad ar to jau ir noslēgts miers un karš sācies ar Austrumāziju (vai
otrādi).
.528. «1931. gadā atklātās K. Gēdeļa teorēmas secinājums – Jūs rakstāt tālāk –, ka principā nav iespējama pilna (izsmeļoša) un nepretrunīga formāli-matemātiska teorija, darīja galu pretenzijām uz visas matemātikas aptveršanu kādā vienotā, nepretrunīgā un pilnā deduktīvi-formāli-loģiskā sistēmā» (216.lpp.).
.529. Nu jā, – tā atkal ir tradicionālā,
pašlaik dominējošā paradigma, kurā faktiskais lietu stāvoklis netiek aplūkots,
bet jau no paša sākuma ir pieņemts viens konkrēts modelis (priekšstats) par
matemātikas būtību.
.530. Galvenie šī («tradicionālās
matemātikas») modeļa «stūrakmeņi» ir tādi: 1) matemātika ir teorijas, kas
izsecinātas no aksiomām; 2) secinājumus vajag padarīt cik iespējams
«stingrākus», un līdzeklis tā sasniegšanai ir formalizācija; 3) Hilberts lika
priekšā pilnīgi formalizēt visu matemātiku; 4) Gēdelis parādīja, ka tas nav
iespējams.
.531. Nu lūk, un tad tradicionālā paradigma
visu laiku žonglē ar pēdējiem diviem punktiem (kurus Jūs arī atkārtojat). Bet
pēdējiem diviem punktiem vispār ir kaut kāda nozīme tikai tad, ja pareizi ir
pirmie divi. Bet pirmie divi punkti NAV pareizi, – un līdz ar to pēdējie divi
vispār zaudē jebkuru jēgu (vienalga, ir vai nav pareizs pats Gēdeļa
pierādījums; es personīgi domāju, ka tas nav pareizs, jo, tāpat kā
Kantora «pierādījumi», tas balstās uz diagonālajam procesam līdzīgu reālā
stāvokļa ignorēšanu,[1]
– tā stāvokļa, kāds faktiski ir ar bezgalībām, par kurām spriež bioloģisks
kompjūters; taču jautājumu par Gēdeļa teorēmas formālo pareizību atstāsim uz
vēlāku laiku, jo šeit mums pietiek ar to, ka tas vispār nav svarīgi: ir vai nav
šis pierādījums pareizs).
.532. Un tā: pirms runāt par Gēdeļa
secinājumiem, vispirms vajag tikt skaidrībā par to, kas tad īsti ir matemātika
un tās priekšmets: aksiomas, kā apgalvo tradīcija, vai kaut kas cits, kā to
apgalvo Vēras teorija, – TO pa priekšu vajag izdiskutēt un izvērtēt.
.533. «P. Koena 1963.g. dotais kontinuuma hipotēzes atrisinājums, no kura izriet, ka matemātiku principā var būvēt arī uz kāda vēl līdz šim nezināma (varbūt Dievam vien zināma?) «vidēji» bezgalīgi liela apjoma kopu pamata (t.i. tādu kopu, kuru apjoms atrodas «vidū» starp racionālo skaitļu un reālo skaitļu bezgalīgi lielo kopu apjomu) faktiski noved pie iespējas «sašķelt» visu matemātiku līdzīgi tam, kā Eiklīda piektais postulāts sašķēla visu ģeometriju uz trim variantiem» (216.lpp.).
.534. Secinājums, ka «matemātiku principā
var būvēt arī uz kāda «vidēji» bezgalīgi liela apjoma kopu pamata», – šāds
secinājums, kuru Jūs atkārtojat bez vajadzīgās kritiskās attieksmes, ir tipiska
spekulācija miglainos modeļos. (Lai viņi pa priekšu uzbūvē tādu matemātiku, tad
arī paskatīsimies, kas ir uzbūvēts un kā to visu vērtēt!). Tas ir apmēram
tāpat, kā slavenā hipotēze, ka Lielais Sprādziens kosmosā esot tikai sērkociņa
uzliesmojums kādā vēl lielākā Visumā. Tādus prātojumus var taisīt tūkstošiem,
tikai nozīmes tiem nav nekādas.
.535. Patieso stāvokli ar Kontinuuma hipotēzi
es jau parādīju agrāk ({REVIS.770}
u.c.). Kantora dažādie bezgalīgo kopu apjomi vispār pastāv (ir zināmos modeļos
ievesti) tikai tādēļ, ka Georgs Kantors savos «pierādījumos» lēkāja no vienas
atbilstības jēdziena izpratnes uz otru, nespēdams tās precīzi atšķirt. Līdzko
pārtrauc šo lēkāšanu un konsekventi lieto kādu vienu atbilstības izpratni
(vienalga kuru), tā visa viņa teorija sabrūk, kontinuuma problēmas vairs nav,
Koena pierādījumam pazūd pamats zem kājām un kā būvēt «jauno matemātiku» ar
«vidēju kopu apjomu», kļūst pavisam nesaprotami.
.536. «Tātad pašas matemātikas pamatos valda nenoteiktība un fragmentācija – Jūs pabeidzat savu domu –, tā vairs nav uzskatāma par vienotu loģiski-deduktīvu zinātni, bet tikai par «gabaliem deduktīvu un nepretrunīgu» nozari, atkarībā no katra «gabala» pamatā liktajām aksiomām un postulātiem» (216.lpp.).
.537. Visas matemātikas pamatu
problēmas ceļas no tā, ka joprojām (valdošajai paradigmai) nav zināms
matemātikas priekšmets. Viņiem tā joprojām ir zinātne par «to, nezin ko»,
«spēle pēc noteiktiem likumiem», «matemātika pēta pati sevi» utt. – visi šie
nebeidzamie bezspēcīgie prātojumi.
.538. Līdzko būs pieņemta Vēras teorija un
precīzi definēts matemātikas patiesais priekšmets (matemātika pēta noteiktus
cilvēka domāšanas algoritmus), tā visas šīs problēmas izzudīs «kā uz burvja
mājienu». Matemātika kļūs par tādu pašu zinātni kā, piemēram, informātika vai bioloģija,
kur nekādu tamlīdzīgu problēmu attiecīgās zinātnes «pamatos» nav (jo visiem šie
pamati ir labi zināmi un skaidri). Un matemātika tad būs arī vienota, jo visur
priekšmets ir tas pats: domāšanas algoritmi. Tas, ka šie algoritmi ir dažādi,
būs tikpat daudz kā tas apstāklis, ka informātikā programmas ir dažādas, bet
bioloģijā augi un dzīvnieki ir dažādi.
[1] Gēdeļa teorēmas būtība ir tā, ka viņš «formālajā» sistēmā uzkonstruēja teorēmu «Es esmu
nepierādāma». Ja tāda teorēma ir uzkonstruēta, tad tālāk sākas visa tā
spriešana, kurā arī es esmu piedalījies (skat., piem. {KARKAR
[81.lpp.]}). Bet vai tāda «teorēma» patiešām ir uzkonstruēta? Tajā
«konstruēšanā» Gēdelis operē ar bezgalīgiem numuriem tikpat drosmīgi kā Kantors
savās teorēmās, un man tas uzticību neiedveš. Es neesmu izstudējis Gēdeļa domu
gaitu tādā mērā kā Kantora domu gaitu un tāpēc nevaru pateikt, vai atzīstu to
par korektu vai par nekorektu (un tātad vai «skandalozā teorēma» ir vai nav
uzkonstruēta).
Nav komentāru:
Ierakstīt komentāru